【一次関数の利用】動点問題を攻略!グラフを先に描く解法が楽しい!

  • このエントリーをはてなブックマークに追加
みみずく戦略室

多くの中学2年生が数学の「一次関数」でつまずきます。中でも、「一次関数の利用」に登場する「動点問題」ができないようです。

動点問題とは、図形の周上を点Pが移動するときの変化を考えるタイプの問題です。「どうしてPが動くんだよ?」というツッコミはなしですよ(笑)

本記事では、以下の問題の解説を通して、動点問題のコツを紹介します。

下の図は、AB=4cm、 BC=6cmの長方形ABCDで、点PはAを出発して毎秒2cmでA→B→C→Dの順で動く。PがAを出発してからx秒後の△APDの面積をycm2とする。このとき、次の問いに答えなさい。

みみずく戦略室

(1) PがAB上にあるとき、yをxの式で表しなさい。

(2) PがBC上にあるとき、yをxの式で表しなさい。

(3) PがCD上にあるとき、yをxの式で表しなさい。

広告

グラフを先に描く解法

教科書などに載っている一般的な解法は、「式を求めた後、必要ならばグラフを描く」という流れです。この解法だと、式を求める段階で失敗するとグラフを描けません。そして、動点問題では、文章から立式することが一番難しいんですよ。

というわけで、僕は、一般的な解法とは逆の手順で考える解法を生徒たちにオススメしています。具体的には次の3ステップです。

1. 動点が頂点と重なるときの座標を求める。

2. グラフを描く。

3. グラフから式を求める。

手順を1つ1つ解説していきますね。

動点が頂点と重なるときの座標を求める

1つめのステップでは、次の4つの場合を考えます。

みみずく戦略室

各場合について、Pの移動時間xと△APDの面積yを求めますよ。

①の場合、Pは動いていないので、移動時間は0秒、すなわちx=0です。また、△APDができていないので、その面積は0 cm2、すなわちy=0です。これより、①の座標は(0、0)となります。

②の場合、PはAB=4cmを動いたので、移動時間は4cm÷毎秒2cm=2秒、すなわちx=2です。また、△APDの面積は4×6÷2=12(cm2)、すなわちy=12です。これより、②の座標は(2、12)となります。

③の場合、PはAB+BC=10cmを動いたので、移動時間は10cm÷毎秒2cm=5秒、すなわちx=5です。また、△APDの面積は4×6÷2=12(cm2)、すなわちy=12です。これより、②の座標は(5、12)となります。

④の場合、PはAB+BC+CD=14cmを動いたので、移動時間は14cm÷毎秒2cm=7秒、すなわちx=7です。また、△APDができていないので、その面積は0 cm2、すなわちy=0です。これより、②の座標は(7、0)となります。

これで、①から④の場合の座標がそろいました。

グラフを描く

まずは、①(0、0)、②(2、12)、③(5、12)、④(7、0)の各点を座標平面上に描き込みます。

みみずく戦略室

次に、①から④の点を直線で結びます。動点が1つで、その同点の速さが一定のときは、点と点を直線で結んでOKです。曲線や折れ線になることはないので安心してください。

みみずく戦略室

これで、無事にグラフを描くことができました。冒頭の問題では「グラフを描きなさい」という問いがありません。しかし、答として求められていなくても、グラフを必ず描くようにしてください。マス目が無くても、フリーハンドでグラフを描けるように訓練するといいですよ。

グラフから式を求める

①~②、②~③、③~④の各区間で直線の式をそれぞれ求めます。

①~②では、xの増加量が2のときyの増加量が12なので、直線の傾き(変化の割合)は12÷2=6です。

みみずく戦略室

直線は原点を通るので切片は0です。したがって、直線の式はy=6xです。このときのxの変域をグラフから読み取ると0≦x≦2です。

②~③では、yが12からずっと変わりません。したがって、直線の式はy=12です。このときのxの変域をグラフから読み取ると2≦x≦5です。

③~④では、xの増加量が2のときyの増加量が-12なので、直線の傾き(変化の割合)は-12÷2=-6です。

みみずく戦略室

直線の切片をbとして、直線の式はy=-6x+bと表せます。これが④(7、0)を通るので、0=-6×7+bよりb=42です。したがって、直線の式はy=-6x+42です。このときのxの変域をグラフから読み取ると5≦x≦7です。

以上より、(1)はy=6x(0≦x≦2)、(2)はy=12(2≦x≦5)、③はy=-6x+42(5≦x≦7)となります。xの変域まで求められるようにしましょうね。

一次関数はグラフが命!

教科書などに載っている動点問題の解法を理解できない生徒は、グラフを先に描く解法でもう一度チャレンジしてみてください。グラフを描いた後、機械的に式を求められて、とても楽しくなるはずですよ。

動点問題に限らず、一次関数の問題では、グラフを描くことがとても大切です。グラフと仲良くなって、一次関数を得意にしましょう!

トップ画像=Pixabay

広告
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です