【旗の塗り分け】場合の数(並べ方)で順列と組合せを使い分ける!

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みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記

小学算数から高校数学まで、「場合の数(並べ方)」という分野があります。「A,B,Cの3人が一列に並んだとき、その並び方は何通りですか。」というタイプの問題を扱う分野ですね。

中学までの「場合の数」では、計算らしい計算がほとんどありません。樹形図や表を描いて数え上げれば、ほとんどの問題が解決します。教科書でのページ数は少なく、学年の最後の方に配置される分野なので、授業でもサラッと流される傾向にあります。

そんな微妙な扱いにもかかわらず、「場合の数」は中学入試や高校入試に必ず出題されます。また、「確率」分野の土台にもなる分野なのでとても重要です。

しかし、多くの小中学生は「場合の数」で頭を抱えます。そんな生徒たちの悩みを解決しましょう!!

順列と組合せの使い分け

「場合の数」では、次の2つの考え方に大きく分かれます。

・順列…並び順を考える選び方

・組合せ…並び順を考えない選び方

たとえば、「A,B,Cの3人が一列に並んだとき、その並び方は何通りですか。」という問題は順列です。この問題では、3人の並び方について、“ABC”と“ACB”を区別するからですね。

一方、「1,2,3が書かれた3つの玉から2つを同時に取り出すとき、その取り出し方は何通りですか。」という問題は組合せです。この問題では、2つ玉の取り出し方について、“12”も“21”も区別しません。手の中にある玉に順番はありませんからね。

しかし、同じような問題文でも、組合せになるとは限りません。たとえば、「1,2,3が書かれた3つの玉から順番に1つずつ取り出し、それぞれの玉の数字を一の位、十の位として2桁の整数を作ります。このとき、できる整数は何通りですか。」という問題は、“12”と“21”を区別するので、順列の考え方を使います。

以上のように、順列と組合せの使い分けが「場合の数」攻略のポイントです。

旗の塗り分けは順列?組合せ?

問題文に「一列に」「順番に」「同時に」などの言葉が入っていると、順列と組合せの使わけが容易になります(多くの場合、「一列に」「順番に」は順列で、「同時に」は組合せになります)。

しかし、こうした言葉が問題文に入っていないと、生徒たちは途端に訳が分からなくなります。たとえば、次の問題を考えてください。

赤、青、黄、緑の4色から3色を選んで、以下の旗に色を塗ります。色の塗り方は何通りですか。

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この問題で、多くの生徒たちが「順列?組合せ?どっち?」と混乱します。そんな彼らに対して、「実際に色を塗ってみるとどうなる?」と僕は問いかけます。そして、彼らに旗の絵を何パターンか描かせます。

実際にお絵かきをしてみましょう。分かりやすいように、旗の各領域に番号を振っておきます。

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それぞれの領域に色を塗っていきます。

(ア) ①赤 ②青 ③黄

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(イ) ②赤 ②黄 ③青

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(ア)も(イ)も、使っている色は全く同じです。そんな(ア)と(イ)を区別しますか?普通に考えて、区別しますよね?

この問題では、(ア)と(イ)のように、色の順番を考えなければなりません。したがって、並び順を考える順列を使い、“4×3×2=24(通り)”が答となります。

「場合の数」はお絵かきからスタート

旗の塗り分けに限らず、場合の数(並べ方)の問題では、問題文に惑わされないことが大切です。頭の中で文字情報をこねくり回すのではなく、具体的に絵を描いてみることで順列と組合せの区別が付くんですね。「場合の数」で混乱しがちな小中学生は、気軽にお絵かきするところからスタートしましょう!!

トップ画像=Pixabay

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