【相似】平行線と三角形の問題ではちょうちょかピラミッドを探せ!

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みみずく戦略室

中学受験算数の図形分野では、多くの受験生が相似を苦手とします。図形が複雑になることに加えて、具体的にイメージしにくい比が絡んでくるからです。本来は中学3年で学ぶ相似が、小学生にとって理解の難しい単元であるのも事実でしょう。

とはいえ、相似は中学入試では必ず出題されます。「苦手だから」といって避けて通るわけにはいきません。そこで本記事では、相似の問題を解くときのポイントを解説し、悩める中学受験生のお手伝いをしたいと思います。

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平行線と三角形の問題にはちょうちょかピラミッドが隠れている

相似とは、形が同じで大きさが違う図形同士の関係をいいます。特に2つの三角形について、「2組の角がそれぞれ等しい」(相似条件)という条件が成り立つ場合、それらは相似であると判断できます。

相似条件はいくつかありますが、中学受験算数で使うのは、ほぼ「2組の角がそれぞれ等しい」に限られます。この相似条件が成り立つ問題では、ほとんど必ずといっていいほど平行線が与えられます。そして、そうした問題にはちょうちょかピラミッドが隠れています。

ちょうちょの考え方と注意事項

「ちょうちょ」というのは、次のような図形のことです。この図形では、ちょうちょの羽の両端であるABとDEが平行ならば、三角形ABCと三角形EDCは相似です。

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相似な図形を考える場合、対応する角(同じ大きさの角)が分かるように印を付けることが大切です。三角形ABCと三角形EDCでは、平行線の錯角から角BAC=角DEC、角ABC=角EDC、対頂角から角ACB=角FCDです。「2組の角がそれぞれ等しい」が成り立っています。

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対応する角に挟まれている辺同士を対応する辺といいます。上の図では、○と×に挟まれている辺同士が、長さの分かっている対応する辺です。したがって、相似比はAB:ED=4:6=2:3です。同様にして対応する辺を見つけると、それらの辺同士で相似比は等しいので、AB:ED=BC:DC=CA:CE=2:3となります。対応する辺の比である相似比を書き込みましょう。

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ちょうちょ型で注意すべきは、AC:EC=2:3のように、相似比が交差することです。AC:DC=2:3ではありません。

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