【旅人算】速さの和と差から出会い算と追い越し算を再考する

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みみずく戦略室

速さの和を使う問題と差を使う問題を区別するには、2人の移動する向きを考えます。

・2人が反対方向に進む → 速さの和を使う。

・2人が同じ方向に進む → 速さの差を使う。

ダイヤグラムを描けば、2人の移動する向きについて視覚的に把握できます(過去記事を参照してください)。

しかし、単純な問題を解く場合は、いちいちダイヤグラムを描くのが面倒です。加えて、ダイヤグラムを描くと却って分かりにくい問題もあります。

こういう場合は、状況図(線分図)を描いて、2人の進んだ道のりを把握します。状況図だと時間を視覚的に把握できないので、複雑な問題を解く場合には不便です(だから、僕はダイヤグラム推しです)。しかし、道のりだけを考えればいい場合にはシンプルで分かりやすくなります。

実際に、前ページの問題について、状況図を描いてみましょう。

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速さの和を使う問題

A地点とB地点があります。太郎君は分速80m、次郎君は分速60mで同時にA地点を出発しました。次郎君はB地点に向かう途中で、先にB地点を折り返してきた太郎君に出会いました。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) AB間の道のりが1400mのとき、2人が出会ったのは出発してから何分後ですか。

A地点とB地点を線分の両端として、太郎君と次郎君の移動した道のりを線分で表したのが以下の状況図です。

みみずく戦略室

赤い矢印が太郎君の移動した道のり、青い矢印が次郎君の移動した道のりです。

まずは、求めるべき時間を□分後として、それぞれの矢印の長さを□で表します。「道のり=速さ×時間」なので、赤い矢印の長さは80×□、青い矢印の長さは60×□です。

次に、(1)で与えられた「1400m」を使うために、赤い矢印の長さと青い矢印の長さを足します。2本の矢印の長さの和がAB間の道のりの2倍になっていることに注意しましょう。

80×□+60×□=1400×2

この式に分配法則を用いて、□を括弧の外に括り出します。

(80+60)×□=2800

(80+60)は、太郎君と次郎君の速さの和です。つまり、道のりの和を利用する問題では速さの和を使うということです。((1)の答は□=2800÷(80+60)=20(分後)

次のページでは、速さの差を使う問題について解説します。

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