【流水算】ダイヤグラム×旅人算~速さの応用問題を図形的に解く~

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みみずく戦略室

中学受験算数の「速さと比」の応用として「流水算」があります。

流水算では、船の速さに加えて川の速さを考えなければならないため、多くの中学受験生は「難しい」と考えがちです。しかし、流水算は、ダイヤグラムを丁寧に描いて情報を整理していけば、決して難しくありません。

本記事では、以下の問題の解説を通して、流水算をダイヤグラムで解く方法について検討します。

一定の速さで流れる川の上流にあるP地点とその8.4km下流にあるQ地点の間を、静水時の速さがそれぞれ一定である船A、Bが移動します。船AがP地点、船BがQ地点を同時に出発しました。また、出発してから数分後に、船Aから川に浮き輪を落としました。2せきの船は出発してから30分後にすれちがい、それから28分後に船Bは浮き輪とすれちがいました。さらに、その47分後に船BはP地点に着きました。船Aの静水時の速さを毎分160mとして、次の問いに答えなさい。

(1) 川の流れの速さは毎分何mですか。

(2) 船Aから川に浮き輪を落としたのは、船AがP地点を出発してから何分後ですか。

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川の流れの速さを求める

(1)から解いていきますね。

そもそも、「どうして船Aから川に浮き輪を落とすのか?」という場面設定に関する疑問は残りますが、問題に文句を言っても仕方ないので、淡々とダイヤグラムを描きます。

「上流にあるP地点」「下流にあるQ地点」と書いてあるので、浮き輪が流れる向きはP→Qです。

みみずく戦略室

このダイヤグラムから読み取れることをどんどん書き込んでいきます。

まずは、下図の赤い三角形に着目して、船Aの下りの速さと船Bの上りの速さの比を求めます。(ダイヤグラムから速さの比を求める方法は過去記事を参照してください)

みみずく戦略室

次に、船Bの上りの速さを求めます。船Bが8400mの道のりを105分で移動したことから、船Bの上りの速さは8400m÷105分=分速80mです。

速さと比の関係と使って、船Aの下りの速さも求めます。

船Aの下りの速さ:船Bの上りの速さ=分速□m:分速80m=5:2

□=80×5÷2=200より、

船Aの下りの速さは分速200m

「船Aの下りの速さ=船Aの静水時の速さ+川の流れの速さ」です。船Aの静水時の速さを毎分160mなので、川の流れの速さは分速200m-分速160m=分速40mです。

浮き輪を落とした時刻を求める

(2)を解く上で理解しておかなければならないのは、「川の流れの速さ=浮き輪の速さ」です。浮き輪は自分では泳いだりしないので要注意です(笑)

(2)は、ダイヤグラムの中から三角形を探して旅人算ですよ。(ダイヤグラムと旅人算の関係は過去記事を参照してください)

まずは、下図の赤い三角形に着目して、□mを求めます。

みみずく戦略室

船Bと浮き輪は逆向きに移動しているので出会い算(速さの和)です。したがって、□m=(分速80m+分速40m)×28分=3360mです。

次に、下図の青い三角形に着目して、△分を求めます。

みみずく戦略室

船Aと浮き輪は同じ向きに移動しているので追い越し算(速さの差)です。したがって、△分=3360m÷(分速200m-分速40m)=21分です。

以上より、30分-21分=9分後が答です。

ダイヤグラムを図形的に理解する

流水算のような複雑な速さの問題を解く場合、ダイヤグラムを図形的に理解しておくと有利です。

上位校志望の中学受験生は、普段の問題演習で積極的にダイヤグラムを描いて、ダイヤグラムを利用した解法に慣れましょう。

トップ画像=Pixabay

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