【群数列】等差数列をグルーピングした難問の解法パターンとは?

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みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記

中学受験算数では、大学入試でも応用扱いされる数列の難問が出題されます。そうした中に群数列があります。

群数列とは、数列をあるきまりに従ってグルーピングしていったものです。以下が群数列の典型的な問題です。

奇数を1から順に並べ、あるきまりに従って区切り、左から順に1組、2組、3組……とします。たとえば、7は3組の1番目の数で、15は4組の2番目の数です。

1|3、5|7、9、11|13、15、17、19|21、23、……

これについて、次の問いに答えなさい。

(1) 11組の11番目の数はいくつですか。

(2) 12組に並んでいる数の和はいくらですか。

高校時代、このタイプの問題に散々悩まされた僕は、群数列を見ると鳥肌が立ちます(笑)

とはいえ、過去の僕と同じく群数列に苦しめられている中学受験生を救うのが僕の使命です。本記事では、群数列の解法パターンを紹介します。

各組に並んでいる数の個数に着目する

群数列では、各組に並んでいる数の個数に着目します。冒頭の問題では、各組に並んでいる数の個数は次の通りです。

1組……1の1個

2組……3、5の2個

3組……7、9、11の3個

4組……13、15、17、19の4個

このように書き出してみると、問題文中の「あるきまり」が「各組に並んでいる数の個数が、1、2、3、4……という等差数列になっている」である、と分かります。

冒頭の問題に限らず、群数列は、各組に並んでいる数の個数も数列になっています。このことをしっかり理解しましょう。

ある組の最後の数を求める

群数列の問題では、多くの場合、ある組の最後の数を求めます。冒頭の問題でも、(1)で「11組の11番目の数」すなわち「11組の最後の数」を求める必要があります。

ある組の最後の数を求める場合、その数が数列全体では何番目かを考えます。このとき、各組に並んでいる数の個数の和(すべて足した値)を利用します。

たとえば、冒頭の問題では、3組の最後の数である11は、数列全体では6番目の数です。この「6番目」は、1組と2組と3組に並んでいる数の個数の和1+2+3=6になります。

同様に考えると、5は、1+2=3より、数列全体では3番目の数です。19は、1+2+3+4=10より、数列全体では10番目の数です。

さらに、「11組の11番目の数」すなわち「11組の最後の数」は、1+2+3+…+11=(1+11)×11÷2(注1)=66より、数列全体では66番目の数です。したがって、1+2×(66-1)(注2)131が(1)の答です。

【(注1)と(注2)について/等差数列の復習】

1、3、5、7、9、……は、2ずつ増えている数列です。このように、同じ数ずつ増えている数列を等差数列といいます。

等差数列の□番目の数は、(最初の数)+(増える数)×(□-1)で求められます。(注2)の式は、(最初の数)=1、(増える数)=2、□=66としたものです。

また、等差数列の和は、(最初の数+最後の数)×個数÷2で求められます。(注1)の式は、(最初の数)=1、(最後の数)=11、個数=11としたものです。

ある組に並んでいる数の和を求める

(2)は、12組に並んでいる数の和を求める問題です。この問題では、12組に並んでいる数の個数、12組の最初の数と最後の数が必要です。

12組に並んでいる数の個数は12個です。

12組の最初の数は、(1)で求めた数に2を足せばいいので133です。

12組の最後の数は、133に2を11回足せばいいので、133+2×11=155です。

(最初の数+最後の数)×個数÷2に当てはめて、(133+155)×12÷2=1728が(2)の答です。

一つ一つの手順を丁寧に

群数列では、次の2つに着目することが大切です。

・各組に並んでいる数の個数

・ある組の最後の数

これらを求めた後は、求めた数値を数列の公式に当てはめて計算するだけです。

考え方自体は難しくありません。しかし、計算がゴチャゴチャするので、一つ一つの手順を丁寧に行うことが大切です。

トップ画像=Pixabay

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