【速さと比】歩数と歩幅の問題を攻略!逆算思考と情報整理で解く

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みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記

中学受験算数の「速さと比」の単元には、歩数と歩幅に関する問題があります。たとえば、以下の問題を考えてみましょう。

太郎君が4歩で歩く道のりを次郎君は5歩で歩き、太郎君が4歩歩く間に次郎君は3歩歩きます。太郎君と次郎君の歩く速さの比を求めなさい。

このタイプの問題は、生徒にとって理解しづらいようで、解法丸暗記に陥りがちです。それもそのはず、問題集の解答には、式や答は書いてあっても、「どうしてそう考えるのか?」「何に着目するのか?」など、最も大切なことが書かれていません。そんな解答を読んだ生徒たちは、「とりあえず答を出せるから、解法丸暗記でいいや」となってしまいます。

本記事では、歩数と歩幅に関する冒頭の問題を使って、「なぜ?どうして?」を掘り下げていきます。

一定のものを探す

問題を解く上で、まずは「何を求めるか?」をきちんと把握しましょう。冒頭の問題では、「太郎君と次郎君の歩く速さの比を求めなさい。」とあるので、「速さの比」を求めることになります。

次に、「どのような解法で求めるか?」を考えます。一般的に、速さを求める場合は“速さ=道のり÷時間”を使います。しかし、今回は速さのを求めます。このように比が絡む速さの問題では、ほとんどの場合、次の関係を使います。

道のりが一定(同じ) → 速さの比と時間の比は逆比

速さが一定(同じ) → 道のりの比=時間の比

時間が一定(同じ) → 道のりの比=速さの比

「道のり・速さ・時間のうち、一定のものはないかな?」と考えながら、もう一度問題文を読み直しましょう。

情報を線分図に表す

1文目は、「、」の前後で一定のものが異なります。このことに気づけるかどうかが鍵です。

「太郎君が4歩で歩く道のりを次郎君は5歩で歩き、」では、「道のりが一定」です。一方、「太郎君が4歩歩く間に次郎君は3歩歩きます。」では、「時間が一定」です。これらをふまえて、情報を線分図に表します。

1文目の「、」の前が【図1】で、「、」の後が【図2】です。線分図の長さは道のりを表します。

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歩幅を求める

2つの図を見ながら、「速さの比を求めるには何の値が必要か?」を考えます。

【図1】は、道のりが一定なので、時間の比を求められれば速さの比も求められます。しかし、【図1】や【図2】から時間の値(比)を求めるのは困難だと思います。(時間の比を求めることはできますが、ややイメージしづらいです。また、逆比が絡むので混乱しがちです)

そこで、【図2】に着目します。こちらは、時間が一定なので、道のりの比(=線分の長さの比)がそのまま速さの比になります。ここで必要となるのは、太郎君と次郎君の歩幅(一歩で進む道のり)です。なぜなら、「歩幅×歩数=歩いた道のり」だからです。

改めて【図1】を見ます。こちらは、道のりが一定なので、太郎君と次郎君の歩幅を求められます。求められるといっても、道のりの具体的な数値はありませんので、【図1】の線分全体の長さを太郎君と次郎君の歩数の最小公倍数である20にします。こうすると、太郎君の歩幅は20÷4=5、次郎君の歩幅は20÷5=4となります。(線分全体の長さは適当に決めて構いません。問題集の解説では、多くの場合1になっています。しかし、1にすると歩幅が分数になって分かりにくくなります。)

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求めた歩幅を【図2】に当てはめると、太郎君が歩いた道のりは5×4=20、次郎君が歩いた道のりは4×3=12です。したがって、太郎君の速さ:次郎君の速さ=太郎君が歩いた道のり:次郎君が歩いた道のり=20:12=5:3です。

逆算思考と情報整理

問題集の解説では、いきなり「歩幅を求める」などと書かれています。しかし、「歩幅を求める」という発想に至るまでの過程が端折られています。だから、生徒たちは理解できないし、ちょっと問題をひねられると解けなくなるのです。

僕の指導では、本記事のような思考の流れを大切にします。答えるべきものから逆算しながら情報を整理していけば、「自分が何をすべきか?」が見えてきます。この逆算思考と情報整理のスキルを鍛えることで、解法丸暗記から脱却し、複雑な問題や未知の問題にも対応できるようになります。

トップ画像=Pixabay

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