【過不足算】余りや不足を足す?引く?面積図でパターン暗記脱却

  • このエントリーをはてなブックマークに追加
みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記

中学受験算数には、「過不足算」と呼ばれる特殊算があります。たとえば、次のような問題です。

何人かの子どもにあめ玉を配ります。1人8個ずつ配ると4個不足し、1人5個ずつ配ると26個余ります。子どもは何人いますか。

過不足算を塾で教わった生徒は、この問題を見て、「余りは足すんだっけ?あれ、引くんだっけ?」と混乱していました。さらに、頑張って計算して数値を出したものの、その数値が何を意味しているのか分からず、余計な計算をしていました。

塾は過不足算の解き方をパターン別に教えただけで、本質的な説明を端折ったようなのです。だから、彼は何が何だか分からなくなったんですね。

彼の様子を見ていた僕は、「これはマズイ!」と危機感を覚え、面積図を使って過不足算の考え方を彼にレクチャーしました。そのときの指導内容を本記事で紹介します。

余りと不足の場合

過不足算は面積図と相性が抜群です。(もちろん線分図を使っても解けます。線分図を使った解法は過去記事を参照してください。)

冒頭の問題では、「あめ玉の数」と「子どもの人数」が未知の数です。「1人8個ずつ配る」の「1人」から、「子どもの人数」を表す□人を横の長さとする長方形を描きます。そして、この長方形の面積を「あめ玉の数」とし、余りや不足を考える際の基準とします。基準となる面積と比べて、「配った(配ろうとした)あめ玉の数」を表す面積が大きくなるか小さくなるかを考えればいいんですね。

実際に冒頭の問題を解いてみましょう。

1人8個ずつ配った場合、4個不足します。このとき、「配ろうとしたあめ玉の数」は「あめ玉の数」より多いですね。したがって、「配ろうとしたあめ玉の数」を表す面積は、基準となる面積(「あめ玉の数」)より大きくなります。

同様に、1人5個ずつ配った場合、26個余ります。このとき、「配ろうとしたあめ玉の数」は「あめ玉の数」より少ないですね。したがって、「配ったあめ玉の数」を表す面積は、基準となる面積(「あめ玉の数」)より小さくなります。

以上を面積図で表すと、次の通りです。

みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記

これら3つの長方形を重ね合わせます。

みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記

この図から、8個と5個の差である3個を縦とする長方形を探します。上の図では、赤い長方形になります。この長方形について、「横=面積÷高さ」の式を作り、□を求めます。

□ = ( 4 + 26 ) ÷ 3 = 10

冒頭の問題では、「子どもは何人いますか」と問われています。したがって、子どもの人数を表す□の値、すなわち10人が答です。

「余りと不足は足す」というパターンを暗記する必要はありません、適切な図を描ければ、足すのか引くのかは自然と見えてきます。

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です